Равенство двух отношений

В математическом образовании в России есть два конкурирующих подхода — одни учат школьников олимпиадной математике, другие готовят к участию в научных конференциях. Конечной целью и тех и других становится воспитание ученого из математически одаренного ребенка. Простым же школьникам предлагается учить математику зубрежкой формул и алгоритмов — они тоже попадают в науку, хотя начинают любить математику лишь в институте, с трудом переживая первые сессии.

Кого учить

Задача специализированных математических школ и кружков — отобрать самых способных к математике детей и учить их сверх обязательного минимума. «В обыкновенной школе не надо учить математике, — говорит руководитель Лаборатории непрерывного математического образования в Санкт-Петербурге Илья Чистяков. — В школе учат предмету «математика», маломерной проекции такой низкой размерности, что называть это математикой не хочется. Математике же можно учить с 14 лет — и только немногочисленное количество людей с яркими способностями к ней. Не одна лишь математика развивает логическое мышление. Его можно тренировать хоть на русских народных песнях, частушки петь».

С Чистяковым спорит заместитель директора физико-математического лицея №239 в Санкт-Петербурге, член Общественного совета Минобрнауки и профессор Герценовского университета Сергей Рукшин: «На Западе исходят из того, что математические способности на 70–80% врожденные, и лишь 20–30% — это развитие. Мой опыт показывает, что соотношение обратное. Поэтому учить нужно всех, хотя и не все обучаемы». Рукшин руководит Центром математического образования при лицее №239 и воспитал двух лауреатов премии Филдса — Григория Перельмана и Станислава Смирнова: «Чтобы признать ребенка одаренным, нужны заметные успехи и выдающиеся достижения — медали и дипломы. Всероссийские олимпиады начинаются с 9-го класса, а городские — с 6-го класса. Мы набираем школьников — в 4-й и 5-й классы, в порядке эксперимента брали третьеклассников. Ни о какой одаренности в этом возрасте говорить нельзя, поэтому мы работаем с мотивированными детьми или с мотивированными родителями». Главное, по словам Рукшина, чтобы дети понимали, что развитие их мышления нужно им самим, а не образовательной системе: «Математические способности не однородны. Бывают комбинаторно-логические, формально-алгебраические способности, пространственно-геометрическое и аналитическое мышление».

По его словам, задача педагога состоит в том, чтобы помочь выявить и развить эти способности. В качестве примера он приводит ученицу, призера Всероссийской олимпиады школьников, у которой, по его словам, сильные способности к комбинаторике, но которая вряд ли когда-нибудь добьется успеха в геометрии и математическом анализе: «При стандартном подходе можно было и не заметить ее, но если к ребенку подходить со всех сторон и щупать математическое мышление, то можно обнаружить одаренность».

Как учить

Стандарт начального общего образования по математике предусматривает, что к концу 4-го класса ребенок должен уметь сравнивать и производить простые вычисления с числами до миллиона, рисовать и измерять отрезки, находить периметр многоугольников, знать наизусть таблицы сложения и умножения, уметь составлять маршрут и совершать покупки в магазине. К концу школы математика должна развить логическое мышление, пространственное воображение, алгоритмическую культуру, критичность мышления выпускника. Это в стандарте понимается как ознакомленность с теориями вероятности, комбинаторики, тригонометрией и началами математического анализа. Учебники подходят к поставленной задаче с разных сторон — одни предлагают большое количество однотипных задач и примеров на отработку математических правил, другие делают упор на решение нестандартных задач и занимательную математику.

«В разных странах подход к обучению математике совершенно разный, но почти все известные мне зарубежные программы пришли к выводу, что в математике важно больше времени уделять играм, а не заучиванию ответов ко всем примерам, — говорит Женя Кац, автор книги математических игр для дошкольников «Пирог с математикой» и ведущая математического кружка в Центре дистантного обучения. — Правильно учить так, чтобы дети сами делали выводы, а для этого надо дать им достаточно времени. Для детей часто цифра 5 и количество пальцев на руке — это разные «пять». Они знают, что 2 + 3 = 5, но, если я дам первоклашке пять счетных палочек, а потом попрошу несколько спрятать, он удивится, как я, глядя на две оставшиеся палочки, догадалась, что он спрятал три». По мнению Жени Кац, школьная математика зачастую бывает слишком скучной и однообразной: «Детям говорят, что математика им понадобится в жизни, и учат их каллиграфии, писать цифры, а потом арифметике. Красивые темы, доступные детям, так и остаются за бортом программы: сначала плавать научитесь, потом мы вам воду в бассейн нальем, сначала научитесь считать, а потом мы вам покажем, что бывают интересные задачки».

Преподаватель центра образования «Технологии обучения» Виктор Борун считает, что школьная программа по математике нуждается в кардинальном пересмотре: «Исторически сложившаяся программа очень скудна. Многие вещи были хороши, пока были научными открытиями, но школьникам от них остались крохи, которые предлагается заучивать без понимания. Прекрасное потерялось. От балета осталась строевая муштра, угнетение, принудительное кормление непитательной школьной программой». По мнению Виктора Боруна, детей необходимо в первую очередь учить простым логическим операциям — умению отличить ложное утверждение от истинного и делать выводы: «Нужно, чтобы ребенок привык к мысли, что утверждение о ложности не имеет эмоционального заряда. Что это может быть просто объективное суждение».

С необходимостью пересмотра школьной программы согласен и Рукшин. Но он против того, чтобы отказываться от «зубрежки»: «Мне не хватает того, чтобы студенты были научены что-то запоминать. У нас даже по сравнению с учениками церковно-приходской школы ухудшилась образная, логическая память, а формировать мышление без памяти и твердой базы невозможно. Сейчас мои студенты способны только воспринимать клип длиной в 2,5 минуты. Через 2,5 минуты их внимание и сознание отрубаются — они перестают логически связывать материал». Большинство преподавателей сходятся в том, что в школе необходимо больше давать нестандартных задач, которые бы стимулировали интерес школьников к математике. По словам Рукшина, нестандартной задачу делает иногда просто оригинальный способ подачи: «Можно давать задачи сразу по нескольким изучаемым темам, тогда уже не будет подсказки, и школьнику придется думать, по какой теме задача. Иногда нужна интересная формулировка. К примеру, задача по комбинаторике для 5-го класса: у юного бармена Васи есть три сока — апельсиновый, грейпфрутовый и яблочный. А еще у него есть пепси-кола, кока-кола и фанта. Сколько разных коктейлей может создать Вася, смешивая сок и газировку? Если писать в условии «варианты напитков а и б» — это одно, а если «юный бармен Вася» — то совсем другое».

Олимпиады и научные конференции

Одаренные школьники демонстрируют свои достижения в математике на конференциях и олимпиадах. Сторонники олимпиадного подхода ругают конференции за «кидание пальцами» и «переоткрывание хорошо известных вещей», а противники считают, что, в отличие от олимпиад, где требуется быстрое решение задач, исследование и доклад на конференции ближе к реальной работе ученого.

Руководитель Лаборатории непрерывного математического образования Илья Чистяков — один из противников олимпиад, называет их спортом и говорит о трагических последствиях для психики: «Из ста человек два становятся международными призерами, 98 — психологическими инвалидами. Просто одни воспринимают олимпиады как милое развлечение, а для других это профессия, потом из них только руководители математических кружков и вырастают». Чистяков рассказывает о том, как часто на олимпиадах дети плачут навзрыд, потому что не смогли решить задачу.

«Математическая олимпиада — это самый эффективный инструмент для выявления одаренных детей, — говорит председатель жюри Всероссийской олимпиады по математике и руководитель национальной команды на международной математической олимпиаде Назар Агаханов. — Большинство ребят, которые добились успехов в науке, участвовали в олимпиадах, потому что, в отличие от классической, школьной математики, где проверяется умение выполнять действия согласно алгоритмам, в олимпиадах требуется придумать некую логическую конструкцию, которую школьник прежде не встречал. Это научное творчество». По словам Агаханова, олимпиады не должны становиться самоцелью — это дверь в науку.

«Те, кто участвовал в конференциях и выигрывал олимпиады, поступали в университет без экзаменов, — рассказывает научный журналист Сергей Добрынин, выпускник математико-механического факультета СПбГУ. — Первые два курса мы могли ничем не заниматься, просто сдавать экзамены и всегда получать отличные оценки. Проблемы начались после 3-го курса. Потому что мы вышли за рамки своих знаний — и оказалось, что у нас нет никакой мотивации. А дети из обычных школ, которые получали тройки и готовились месяцами, успели нас нагнать… И после окончания вуза только три или четыре человека из физматшкол ушли в науку — примерно столько же, сколько и ребят из обычных школ».